푸리에 변환 Fourier transform

푸리에 변환

'푸리에 변환'(Fourier transform)이란 '시간 영역'(time domain)의 함수를 '주파수 영역'(frequency domain)의 함수로 변환하는 것 또는 그 변환된 것을 뜻한다.

시간 t의 어떤 함수 x(t)가 있을 때 이를 주파수 영역으로 푸리에 변환한 주파수 f의 함수 X(f)는 다음과 같다.

 

여기서, j = √-1이며 x(t)의 값은 실수인데 반해 X(f)의 값은 실수와 허수를 갖는 복소수가 된다.

이제는 반대로, 주파수 영역의 함수 X(f)를 시간 영역으로 변환하는 '푸리에 역 변환'(inverse Fourier transrom)의 공식은 다음과 같다.

두 공식은 서로 비슷하며 지수 함수의 지수의 부호가 다른 특징을 갖는다.

이 푸리에 변환은 다음과 같은 공식들의 '푸리에 급수'(Fourier series)와 형태가 비슷함을 알 수 있다.

먼저, 푸리에 변환 식 (1)은 푸리에 급수의 푸리에 계수 식 (3)과 비슷함을 알 수 있다. 식 (1)은 식 (3)의 적분 기호 앞의 1/T가 빠진 대신에 적분 구간이 늘어났다.

 

다음으로, 푸리에 역변환 식 (2)는 푸리에 급수의 역변환 식인 (4)와 비슷하고, 식 (2)는 적분 기호를 식 (3)은 합산 기호를 쓰는 점이 다르다.

 

식 (2)에는 식 (4)의 c와 달리 X(f)에 df를 곱하기 때문에 X(f)의 값은 푸리에 계수 c의 주파수에 대한 미분 즉 dc/df와 물리적 의미가 같다. 즉, X(f)의 크기 값은 f에 대한 미분 값이며 진폭의 밀도 함수이다.

따라서, 특정 f에서의 X(f) 값은 그 크기의 코사인 성분의 진폭 자체를 뜻하는 것이 아니라 진폭의 밀도이다. 그러므로, 한 주파수 성분의 진폭을 알고 싶다면 적분을 해야 하며, 그 주파수 순간에만 적분하면 항상 성분의 크기는 0이 되기 때문에, 그 주파수 주위의 소량의 구간 동안 적분을 해야 진폭을 구할 수 있다. 이는 X(f)의 그래프에서 특정 주파수 구간의 면적이 그 구간의 주파수 성분의 진폭(정확히는 진폭의 절반)에 해당한다. 이것은 확률 밀도 함수를 통해 기대값을 구하는 것과 비슷하다.

또 두 식의 차이점으로서, 푸리에 계수 c의 값은, x(t) 함수의 주기성으로 인해 다른 주파수 성분은 0이기 때문에, 주파수가 f=2πn/T인 성분만을 계산한 것인데 비해, 푸리에 변환 X(f)는, x(t) 함수가 비주기적이기 때문에 모든 주파수 성분을 가지므로, 모든 가능한 주파수 성분을 계산한 것이라는 점이다.

이러한 사실들로부터, 시간 영역의 함수는 코사인 함수들의 적분으로 나타낼 수 있으며 그 코사인 함수들의 크기와 위상의 정보가 X(f)라는 사실을 알 수 있다. 이때, 복소수 X(f) 값의 크기는 코사인 성분의 크기의 f에 대한 미분(f에 대한 일종의 밀도)에 해당하고, 복소수 값의 각도는 코사인 성분의 위상과 같다.

결과적으로, 푸리에 변환을 통해 시간 영역의 한 신호 함수의 주파수 성분들의 밀도와 위상을 알 수 있다.

예를 들어, x(t)의 주파수가 f0인 성분의 푸리에 변환 값인 X(f0)가 1 - j 이었다면 다음 식의 결과처럼 이 성분은 주파수에 대한 밀도가 √2의 2배이고 위상이 -π/4인 코사인 함수가 된다.

 

참고로, 푸리에 변환은 '라플라스 변환'(Laplace transform)과도 비슷하며 라플라스 변환을 푸리에 변환으로 바꿀 수 있다. 라플라스 변환의 복소(complex) 주파수 s가 s = σ + jω 이고 ω = 2πf 이므로 감쇄 지수 σ가 0이라면 s = j2πf 가 되어 다음 식처럼 라플라스 변환은 푸리에 변환과 같아진다.

라플라스 변환은 미분 방정식을 풀이할 때와 '전달 함수'(transfer function)을 구할 때에 사용되거나 동적 시스템의 해석이나 제어에 쓰이는 등 '과도 상태 응답'(transient state response)을 알려 할 때에 주로 사용되는 반면에, 푸리에 변환은 '주파수 응답'(frequency response)처럼 '정상 상태 응답'(steady state response)을 알려 할 때에 주로 쓰인다.

[출처] 푸리에 변환 Fourier transform|작성자 뻐그